Nell'allegato vengono forniti alcuni esempi, manoscritti e scansionati, per l'analisi di alcuni elementari circuiti elettrici che si suppongono LTI, ossia Linear e Time Invariant.
Tutte e tre gli esempi sono sistemi dinamici, in cui sia le variabili di ingresso che di uscita variano effettivamente nel tempo e siamo interessati a comprendere cosa accade nel transitorio.
Invece si soppongono, per semplicità, i parametri come delle costanti (pertanto il Sistema è Invariante e Lineare - LTI ) .
I tre esempi nell'allegato in PDF sono:
- circuito RC serie
- circuito LR serie
- circuito RLC serie
Non volendo scomodare le equazioni differenziali, si fa ricorso al metodo approssimato alle differenze finite, con la soluzione iterativa che può essere facilmente implementata al calcolatore, usando la programmazione in un qualsiasi linguaggio ad alto livello, oppure il foglio elettronico di calcolo.
Circuito RC serie
Costante di Tempo τ = RC.
$$i_R(t)=i_C(t)=i(t)$$Scriviamo l'equazione delle maglia
$$E=Ri_R(t)+v_C(t)= Ri_C(t)+v_C(t)$$
Sappiamo che
$$i_C(t)=C \frac {\Delta v_C(t)}{ \Delta t}$$
oppure se visto come derivata $$i_C(t)=C \frac {d v_C(t)}{ d t}$$
Non volendo usare in questo articolo le equazioni differenziali, ricaviamo la formula iterativa alle differenze finite:
$$E=RC \frac {\Delta v_C(t)}{ \Delta t} +v_C(t) = \tau \frac {\Delta v_C(t)}{ \Delta t} +v_C(t) $$
ma
$$ \Delta v_C(t) = v_C(t+\Delta t) - v_C(t) $$
dove $ v_C(t+\Delta t) $ è il valore finale, e $ v_C(t) $ è il valore iniziale, mentre $ \Delta v_C(t)$ è l'incremento della tensione sul condensatore.
Quindi
$$ \tau \frac { v_C(t+\Delta t) - v_C(t) }{ \Delta t} +v_C(t) = E $$
$$ \tau [ v_C(t+\Delta t) - v_C(t) ] +v_C(t) \Delta t = E \Delta t $$
Porto a secondo membro (a destra) $ v_C(t) \Delta t $, ed ottengo:
$$ \tau [ v_C(t+\Delta t) - v_C(t) ] = E \Delta t - v_C(t) \Delta t $$
poi raccolgo $ \Delta t $
$$ \tau [ v_C(t+\Delta t) - v_C(t) ] = [E - v_C(t) ] \Delta t $$
Divido tutto per $ \tau $:
$$ v_C(t+\Delta t) - v_C(t) = \frac {1}{ \tau } [E - v_C(t) ] \Delta t $$
Ecco la formula finale che puo' essere usata al calcolatore, ad esempio con un foglio elettronico.
$$ v_C(t+\Delta t) = \frac {1}{ \tau } [E - v_C(t) ] \Delta t + v_C(t) $$
Per vedere l'esito del metodo iterativo consultare questo post http://www.e-guernica.net/it/caricaCondensatore.
Circuito LR serie
Costante di Tempo $\tau = \frac {L} {R}$ .
$$i_R(t)=i_L(t)=i(t)$$ perché c'è un'unica maglia.Scriviamo l'equazione delle maglia
$$E=v_R(t)+v_L(t)= Ri(t)+v_L(t)$$
Sappiamo che
$$v_L(t)=L \frac {\Delta i_L(t)}{ \Delta t}$$
oppure se visto come derivata $$v_L(t)=L \frac {d i_L(t)}{ d t}$$
Basta ricordarsi che nell'induttore - principio di dualità - al posto di C c'è L e al posto della corrente c'è la tensione e viceversa, al posto della tensione ai capi del condensatore c'è la corrente che attraversa l'induttore.
Non volendo usare in questo articolo le equazioni differenziali, ricaviamo la formula iterativa alle differenze finite:
$$\frac {E}{R}=i(t) + \frac {L}{R} \frac {\Delta i_L(t)}{ \Delta t} $$
Quindi
$$ \tau \frac {\Delta i_L(t)}{ \Delta t} + i(t) = \frac {E}{R} $$
A questo punto è utile confrontare quest'ultima espressione con quella ricavata ed analoga - duale - nel paragrafo precedente.
ma
$$ \Delta i(t) = i(t+\Delta t) - i(t) $$
dove $ i(t+\Delta t) $ è il valore finale, e $ i(t) $ è il valore iniziale, mentre $ \Delta i(t) $ è l'incremento della corrente sull'induttore.
Quindi
$$ \tau \frac { i(t+\Delta t) - i(t) }{ \Delta t} +i(t) = \frac {E}{R} $$
$$ \tau [ i(t+\Delta t) - i(t) ] +i(t) \Delta t = \frac {E}{R} \Delta t $$
Porto a secondo membro (a destra) $ i(t) \Delta t $, ed ottengo:
$$ \tau [ i(t+\Delta t) - i(t) ] = \frac {E}{R} \Delta t - i(t) \Delta t $$
poi raccolgo $ \Delta t $
$$ \tau [ i(t+\Delta t) - i(t) ] = [ \frac {E}{R} - i(t) ] \Delta t $$
Divido tutto per $ \tau $:
$$ i(t+\Delta t) - i(t) = \frac {1}{ \tau } [ \frac {E}{R} - i(t) ] \Delta t $$
Ecco la formula finale che puo' essere usata al calcolatore, ad esempio con un foglio elettronico.
$$ i(t+\Delta t) = \frac {1}{ \tau } [ \frac {E}{R} - i(t) ] \Delta t + i(t) $$
Per vedere l'esito del metodo iterativo consultare questo post.
Circuito RLC serie
Si suppone il circuito LTI, ossia Linear and Time Invariant.
$$i_R(t)=i_C(t)=i(t)$$Scriviamo l'equazione delle maglia
$$E=v_R(t)+ v_L(t) +v_C(t) $$
Possiamo considerate questo circuito, da punto di vista "sistemistico", come un modello a blocchi con due variabili di uscita i(t) e vC(t) e una sola di ingresso E. Invece R, L, C sono dei parametri.
Conviene considerare due uscite, ancorché siano legate tra di loro:
$$ i_C(t)= C \frac {dv_C(t)}{ d t} $$
Pertanto
$$\begin{cases} i(t)=C \frac {\Delta v_C(t)}{ \Delta t}\\ E=Ri(t)+ L \frac {\Delta i(t)}{ \Delta t} +v_C(t) \end{cases}$$
$$\begin{cases} \frac {\Delta v_C(t)}{ \Delta t}= \frac {i(t)} {C} \\ L \frac {\Delta i(t)}{ \Delta t} = E- Ri(t) - v_C(t) \end{cases}$$
$$\begin{cases} \frac {\Delta v_C(t)}{ \Delta t}= \frac {i_C(t)} {C} \\ \frac {\Delta i(t)}{ \Delta t} = \frac{E}{L}- \frac{R}{L}i(t) - \frac {v_C(t)}{L} \end{cases}$$
Utilizzo quindi la definizione di differenze finite
$$ \Delta v_C(t) = v_C(t+\Delta t) - v_C(t) $$dove $ v_C(t+\Delta t) $ è il valore finale, e $ v_C(t) $ è il valore iniziale, mentre $ \Delta v_C(t)$ è l'incremento della tensione sul condensatore
e
$$ \Delta i(t) = i(t+\Delta t) - i(t) $$
dove $ i(t+\Delta t) $ è il valore finale, e $ i(t) $ è il valore iniziale, mentre $ \Delta i(t) $ è l'incremento della corrente sull'induttore.
Quindi:
$$\begin{cases} \frac {v_C(t+\Delta t) - v_C(t)}{ \Delta t } = \frac {1}{C}i(t) \\ \frac { i(t+\Delta t) -i(t)}{ \Delta t } =\frac{E}{L}- \frac{R}{L}i(t) - \frac {v_C(t)}{L} = \frac {1}{L}[E-Ri(t)-v_C(t)] \end{cases}$$
moltiplico tutto per $ \Delta t $
$$\begin{cases} v_C(t+\Delta t) - v_C(t) = \frac {1}{C}i(t)\Delta t \\ i(t+\Delta t) -i(t) = \frac {1}{L}[E-Ri(t)-v_C(t)]\Delta t \end{cases}$$Ecco la formula finale che puo' essere usata al calcolatore, ad esempio con un foglio elettronico.
$$\begin{cases} v_C(t+\Delta t)= \frac {1}{C}i(t)\Delta t + v_C(t) \\ i(t+\Delta t) = \frac {1}{L}[E-Ri(t)-v_C(t)]\Delta t +i(t) \end{cases}$$
Si lascia al lettore l'esercizio della creazione del foglio elettronico.
In allegato la scansione del manoscritto ;-), con i disegni dei circuiti e i grafici.
PS 2: chi invece vuole divertirsi con le equazioni differenziali puo' scaricare questo documento