Esercizi su Laplace e circuiti elettrici

Esercizio 1

In questo esercizio ricavare la funzione di trasferimento  $F(s)$ di un circuito RC, ipotizzando in ogni caso nullo il segnale in ingresso per istanti di tempo t < 0  che equivale a considerare moltiplicato ciascun segnale di ingresso per il gradino unitario.

$$F(s)= \frac {V_C (s) }{ V_i (s) } $$

Calcolare poi la costante di tempo $\tau = RC $

quando $R=10k\Omega  $

$ C=4,7 {\mu} F $

Calcolare infine, una volta nota la funzione di trasferimento e la costante di tempo, quanto vale l'uscita sia nel dominio trasformato che nel tempo, in tutti i seguenti casi:

 

  1. ingresso delta di dirac $v_i(t)=\delta (t) $
  2. ingresso a gradino $v_i(t)=u_{-1} (t) $
  3. ingresso a rampa $v_i(t)=t u_{-1} (t) $
  4. ingresso a parabola $v_i(t)=t^2 u_{-1} (t) $
  5. ingresso sinusoidale $v_i(t)=sin(\omega t) u_{-1} (t) $ 
  6. ingresso cosinusoidale $v_i(t)=cos(\omega t) u_{-1} (t) $ 
  7. ingresso somma di due funzioni $v_i(t)=[10sin(\omega t) +3 cos(\omega t) ]u_{-1} (t) $  .

Per antitrasformare servirsi delle proprietà della trasformata di Laplace, delle tabelle delle trasformate e del sito internet WolframAlpha, alla cui documentazione si rimanda.

Soluzione alla prima domanda

La funzione di trasferimento $F(s)= \frac {1}{1+s\tau} $

 

Esercizio 2

In questo esercizio va ripetuto quello fatto precedentemente con i seguenti valori 

$R=10M\Omega  $

$ C=2 m F $

 

Esercizio 3

In questo esercizio ricavare la funzione di trasferimento  $F(s)$ di un circuito LR, ipotizzando in ogni caso nullo il segnale in ingresso per istanti di tempo t < 0  che equivale a considerare moltiplicato ciascun segnale di ingresso per il gradino unitario.

$$F(s)= \frac {V_L (s) }{ V_i (s) } $$

Calcolare poi la costante di tempo $\tau = \frac {L}{R} $

quando $R=10k\Omega  $

$ L=5 mH $

Calcolare infine, una volta nota la funzione di trasferimento e la costante di tempo, quanto vale l'uscita sia nel dominio trasformato che nel tempo in tutti i seguenti casi:

  1. ingresso delta di dirac $v_i(t)=\delta (t) $
  2. ingresso a gradino $v_i(t)=7 u_{-1} (t) $
  3. ingresso a rampa $v_i(t)=2t u_{-1} (t) $
  4. ingresso a parabola $v_i(t)=5 t^2 u_{-1} (t) $
  5. ingresso sinusoidale $v_i(t)=2sin(\omega t) u_{-1} (t) $ 
  6. ingresso cosinusoidale $v_i(t)=4cos(\omega t) u_{-1} (t) $ 
  7. ingresso somma di due funzioni $v_i(t)=[7sin(\omega t) +4 cos(\omega t) ]u_{-1} (t) $  .

Per antitrasformare servizi delle proprietà della trasformata di Laplace, delle tabelle delle trasformate e del sito internet WolframAlpha, alla cui documentazione si rimanda.

Soluzione alla prima domanda

La funzione di trasferimento $F(s)= \frac {s \tau }{1+s\tau} $

Esercizio 4

In questo esercizio va ripetuto quello fatto precedentemente con i seguenti valori 

$R=10k\Omega  $

$ L=2,5 mH $

 

Esercizio 5

Dallo svolgimento dei quattro esercizi precedenti, che conclusioni puoi trarre?